介绍
在过去的十年中,相当大的兴趣在分数微分方程已经刺激由于其众多应用领域的物理、生物、工程、和其他地区。开发了几个数值和分析方法研究非线性部分偏微分方程的解决方案,详情,请参考工作(<一个href="#B1">1一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -6一个>]。分数方程使调查等多种现象的非局部反应扩散过程、电动力学、流体流动、弹性,和许多更多。如今,部分衍生品获得了重大进展模型一些现实生活现象在偏微分方程的形式或普通方程。一些研究人员已经完成了部分问题的数值模拟和显示他们的应用程序在不同的方向包括<一个href="#B7">7一个>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -12一个>)和引用。交换的热量、质量和动量被认为是宇宙中基本转移现象。传热传质数学框架是一样的,基本上涵盖了advection-dispersion方程。最近工作很多作者展示了数学的深度和相关的物理问题advection-dispersion方程。舒默et al。<一个href="#B13">13一个>)给时空部分advection-dispersion方程的物理解释。时空部分advection-dispersion方程归纳古典advection-dispersion方程。使用Hilfer-Prabhakar分数导数算子获得物理学重要是因为他们的特定属性。本文的目标是获得解决柯西型广义分数平流扩散方程(18),与Hilfer-Prabhakar分数导数。本文提供了一个优雅的扩展的结果,因为之前Haung和刘<一个href="#B14">14一个>),Haubold et al。<一个href="#B15">15一个>),年代一个xen一个et一个l。<一个href="#B16">16一个>,阿加瓦尔et al。<一个href="#B17">17一个>]。
结果所需的续集
在90年代早期,Watugala [<一个href="#B18">18一个>]介绍了Sumudu变换的定义是,
所有真正的<我>t≥0的Sumudu变换函数<我>f(t)∈一个我>被定义为,
(2)反演公式,给出了
γ是一个固定的实数。
,Sumudu变换被单位保留属性,因此可以用来解决问题而不诉诸于频域。更多细节关于这个变换和属性可以在Belgacem [<一个href="#B19">19一个>),Belgacem et al。<一个href="#B20">20.一个>],和Katatbeh Belgacem [<一个href="#B21">21一个>]。
为一个函数<我>u
(xt)的傅里叶变换对<我>x被定义为
和函数<我>u*(η,t)、傅里叶反变换对η给出的公式
傅里叶变换的更多细节,请参阅[Debnath和履新[<一个href="#B22">22一个>]]。
米塔格-莱弗勒Wiman研究的两个参数的函数(<一个href="#B23">23一个>]
米塔格-莱弗勒函数的三个参数引入的角色(<一个href="#B24">24一个>]
Riemann-Liouville分数积分(右侧)的顺序定义α(<一个href="#B25">25一个>]
正确的站Riemann-Liouvilleα定义为分数阶导数秩序
这里(<我>x的有效组成部分<我>x。
卡普托(<一个href="#B26">26一个>),介绍了分数导数的秩序<我>R(α)>0
(10)的Sumudu变换给出了(<一个href="#B27">27一个>),
ū(<我>x,年代我>)的Sumudu变换<我>u(xt)。
帮助(<一个href="#B28">28一个>),给出了分数导数算子的两个参数μ和ν,泛化的(9)和(10),在表单中
ν= 0,方程(12)减少为ν= 1(9)和方程(12)减少(10)。
(12)的Sumudu变换给出了(<一个href="#B29">29日一个>),
初始值的术语在哪里<米一个th><米年代ub年代up>
我米我>米row>
0米n><米o>+米row>
(米o><米row>
1米n><米o>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -米o><米我>ν米row>
)米o>米row>
(米o><米row>
1米n><米o>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -米o><米我>μ米row>
)米o>米row>
u米我><米row>
(米o><米row>
x米我><米o>,<米n>0<米o>+<米text>米text>
)米o>米row>
涉及Riemann-Liouville分数导数算子的顺序(1−ν)(1−μ)<我>t→0+。
给出帮助衍生物的泛化(<一个href="#B30">30.一个>),被称为Hilfer-Prabhakar导数,被定义为:
让μ∈(0,1),ν∈[0,1],和让<我>f。属于组局部可积实值函数即<米一个th><米我>f<米o>∈<米年代up>
l米我>米row>
1米n>米row>
(米o><米row>
o米我><米o>,<米我>b米row>
]米o>米row>
,米o><米n>0<米o><<米我>t<米o><<米我>b<米o>≤<米我>∞<米o>,<米我>f<米o>*<米年代ub年代up>
e米我>米row>
ρ米我><米o>,<米text>米text>
(米o><米row>
1米n><米o>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -米o><米我>ν米row>
)米o>米row>
,米o><米我>ω米row>
- - - - - -米o><米我>γ<米row>
(米o><米row>
1米n><米o>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -米o><米我>ν米row>
)米o>米row>
(米o><米row>
。米o>米row>
)米o>米row>
∈米o><米我>一个米我><米年代up>
C米我>米row>
1米n>米row>
(米o><米row>
0米n><米o>,<米我>b米row>
]米o>米row>
。米o>米一个th>Hilfer-Prabhakar导数的定义
γ,ω∈吗<我>Rρ>0,<米年代ub年代up>
E米我>米row>
ρ米我><米o>,<米n>0<米o>,<米我>ω<米o>,<米n>0<米o>+米row>
0米n>米row>
f米我><米o>=<米我>f<米o>。米o>米一个th>我们观察到(14)减少自己导数为γ= 0。这个导数算子的Sumudu变换(14)在(<一个href="#B31">31日一个>,形式:
详情的导数,指的是工作在<一个href="#B30">30.一个>,31日一个>]。
布罗克和武器<一个href="#B32">32一个>,部分拉普拉斯算子定义为:
运营商在哪里定义的
和
的傅里叶变换<米一个th><米年代up>
Δ米o><米text>米text>
λ米o>米row>
2米n>米row>
给出了在<一个href="#B32">32一个>),
下列函数的逆Sumudu变换直接适用于这个续集:
在复平面C<我>R
(α)>0,R(β)>0,ω∈C
时空部分Advection-Dispersion方程
这里我们会发现,广义的解决时空Advection-Dispersion方程(18)条件下给出了(19)和(20)。我们的主要发现以下形式的定理3.1和3.2推论。
定理3.1年代trong>。考虑广义分数阶时空advection-dispersion方程柯西类型
在λ∈(0,2)<我>x∈Rt∈R<年代up>+年代up>,μ∈(0,1),ν∈[0,1],
初始条件,
和边界条件
在哪里<米一个th><米年代up>
Δ米o><米text>米text>
λ米o>米row>
2米n>米row>
是分数阶的拉普拉斯算子λ,λ∈(0,2)。积极常数η表示流体平均速度和ς(积极常数)代表了色散系数。受上述限制,方程(18)的解决方案
证明:年代trong>首先,进行傅里叶变换方程(18)关于空间变量<我>x,然后
u我>*(k,t)代表的傅里叶变换<我>u(xt)。再次,应用Sumudu变换(22)对时间变量<我>t,我们得到
在哪里<我>年代我>(u(k,t);年代我>)=ū(<我>k,年代我>)。
求解方程(23),通过使用条件(19)-(20),我们得到的
在Sumudu逆变换方程(24),小简化后,申请结果(17),它给
(25)的傅里叶反变换,得到我们需要的结果(21)。
这就完成了定理3.1的证明。
在<米一个th><米我>η
<米o>=<米n>0<米o>,<米text>米text>
ς米我><米o>=<米frac>
我米我><米我>h米row>
2米n><米我>米米我>米row>
在定理3.1中,我们得出:
推论3.2年代trong>。考虑下面的一维分数阶时空薛定谔方程,自然自由粒子的质量<我>米我>是
在λ∈(0,2),<我>x∈Rt∈R<年代up>+年代up>,μ∈(0,1),ν∈[0,1],
与初始条件
和边界条件
在哪里<米一个th><米年代up>
Δ米o><米text>米text>
λ米o>米row>
2米n>米row>
我们前面定义是一样吗<我>h=6。625×10−27年代up>基本特性我>=4。21×10−21年代up>兆电子伏年代我>是普朗克常数。受上述限制,方程(26)的解决方案
证明:年代trong>推论3.2获取解决方案,我们遵循同样的程序,我们使用的定理3.1的证明,简化之后,我们终于获得期望的结果(29)。
插图
例4.1年代trong>。描述溶质在含水层,考虑下面的广义分数平流扩散方程
与初始条件
和边界条件
在哪里<米一个th><米年代up>
μ米我>米row>
′米我>米row>
=米o><米frac>
d米我>米row>
ν米我>米row>
′米我>米row>
l米我>米row>
我们考虑一个无量纲参数,称为沛克莱数,<米一个th><米我>P
<米我>e<米o>=<米frac>
1米n>米row>
μ米我>米row>
′米我>米row>
在哪里<我>l我>包装长度。沛克莱数确定问题的性质,也就是说,沛克莱数低为平流主导dispersion-dominated问题,很大的问题,<我>d是弥散系数(<我>l我><年代up>2年代up>T我><年代up>−1年代up>)和ν′是达西速度<我>lT<年代up>−1年代up>]。
我们的兴趣在于(30)的解决方案,我们遵循相同的步骤,我们应用定理3.1的证明,简化之后,我们终于获得
在这里<我>u(xt)代表溶质浓度的解析表达式<米一个th><米我>g<米row>
(米o><米row>
k米我>米row>
)米o>米row>
=米o><米frac>
1米n>米row>
2米n><米我>π米row>
(米o><米row>
e米我>米row>
- - - - - -米o><米row>
(米o><米row>
1米n><米o>+<米我>我米我><米我>k米row>
)米o>米row>
- - - - - -米o><米n>1米row>
1米n><米o>+<米我>我米我><米我>k米row>
]米o>米row>
。米o>米一个th>
例4.2年代trong>。考虑广义分数阶时空advection-dispersion方程
与初始条件
δ(<我>x狄拉克δ函数和边界条件
(34)的解决方案可以通过相同的技术为我们应用定理3.1的证明
特殊情况
一些有趣的定理3.1的特殊情况列举如下:
如果我们设置γ= 0,(14),然后Hilfer-Prabhakar导数减少自己导数(12),和定理3.1降低:
(我)年代trong>。考虑广义分数阶时空advection-dispersion方程柯西类型
在(0 <λ≤2),<我>x∈Rt∈R<年代up>+年代up>,μ∈(0,1),ν∈[0,1],
与初始条件
和边界条件
获取(38)的解决方案,遵循同样的程序在定理3.1的证明,我们使用和使用(13),小简化后,得到以下
再次,利用傅里叶变换的卷积定理(41),然后我们得到解决(38),的格林函数
格林函数给出
如果我们设置ν= 1(12),然后自己分数导数减少卡普托分数导数算子(10)和方程(38),收益率如下:
(2)年代trong>。考虑广义分数阶时空advection-dispersion方程柯西类型
在(0 <λ≤2),<我>x∈Rt∈R<年代up>+年代up>,μ∈(0,1),
与初始条件
和边界条件
获取(42)的解决方案,遵循同样的程序在定理3.1的证明,我们使用和使用(11),小简化后,得到以下
再次,利用傅里叶变换的卷积定理(45),那么我们得到解决(42),的格林函数
格林函数给出
(3)年代trong>。给合适的价值所涉及的参数在定理3.1中,我们可以获得相同的结果,由Haung早些时候和刘<一个href="#B14">14一个>),Haubold et al。<一个href="#B15">15一个>),年代一个xen一个et一个l。<一个href="#B16">16一个>,阿加瓦尔et al。<一个href="#B17">17一个>]。
结论
在本文中,我们提出了一个解决方案的广义时空部分advection-dispersion方程。解决方案开发的米塔格-莱弗勒函数的帮助下Sumudu变换和傅里叶变换。我们可以开发高效的数值技术找到解决方案的各个部分产生的偏微分方程在各个领域通过考虑这些分析解决方案为基础。未来的研究中,本文提出的方法可以作为良好的工作模板来解决任何部分advection-dispersion方程在更高的维度。
作者的贡献
VG、JS和y设计研究中,发达的方法,收集数据,进行分析,写的手稿。
利益冲突声明
作者声明,这项研究是在没有进行任何商业或财务关系可能被视为一个潜在的利益冲突。
确认
作者感谢裁判建议和有用的评论文章。
引用
1。Atangana, Gomez-Aguilar摩根富林明。数值逼近Riemann-Liouville分数导数的定义:从Riemann-Liouville Atangana-Baleanu。<我>偏微分方程的数值方法我>(2018)34年代trong>:1502 - 23所示。doi: 10.1002 / num.22195
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